FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Um passeio aleatório é um objeto matemático que descreve um caminho que consiste de uma sucessão de passos aleatórios. Por exemplo, o caminho traçado por uma molécula conforme ela viaja em um líquido ou um gás, o caminho de um animal  buscando alimento, comportamento de supercordas, o preço flutuante de ações e da situação financeira de um jogador pode ser aproximada por modelos de passeio aleatório, mesmo que eles possam não ser verdadeiramente aleatórios na realidade. Como ilustrado por esses exemplos, passeios aleatórios têm aplicações em muitas áreas científicas, incluindo ecologia, psicologia, ciência da computação, física, química, e biologia, e também para a economia. Os passeios aleatórios explicam os comportamentos observados em muitos processos desses campos, e, assim, serve como um modelo fundamental para o registro de atividades estocásticas. Como um aplicação matemática, o valor de pi pode ser aproximado pela utilização de passeios aleatórios no ambiente de modelagem.^[1][2] O termo passeio aleatório foi introduzido pela primeira vez por Karl Pearson , em 1905.^[3]

Vários tipos diferentes de passeios aleatórios são de interesse, que podem diferir em vários aspectos. O próprio termo geralmente se refere a uma categoria especial de cadeias de Markov ou processos de Markov, mas muitos processos dependentes do tempo são referidos como passeios aleatórios, com um modificador que indica suas propriedades específicas. Passeios aleatórios (de Markov ou não) também podem acontecer em uma variedade de espaços: os mais comumente estudados incluem gráficos, outros entre os números inteiros ou reais, no plano ou em espaços vetoriais de dimensões superiores, em superfícies curvas ou em dimensões superiores de campo riemaniano, e também em grupos finitos, finitamente gerados ou grupo de Lie. O parâmetro de tempo também pode ser alterado. No contexto mais simples, a caminhada é em tempo discreto, que é uma sequência de variáveis aleatórias ${\displaystyle (X_{t})=(X_{1},X_{2},\dots )}$ indexadas pelos números naturais. No entanto, também é possível definir passeios aleatórios que levam seus passos em momentos aleatórios, e, nesse caso, a posição ${\displaystyle X_{t}}$ tem de ser definido para todos os tempos ${\displaystyle t\in [0,+\infty [}$. Casos específicos ou limites de passeios aleatórios incluem voos de Lévy e modelos de difusão, tais como o movimento Browniano.

Passeios aleatórios são um tema fundamental na discussão de processos de Markov. O estudo matemático deles tem sido intenso. Várias propriedades, incluindo, mas não limitado a distribuições de dispersão, tempo de retorno, taxas de encontro, recorrência ou transitoriedade, foram introduzidas para quantificar o seu comportamento.

Definição[editar | editar código-fonte]

O passeio aleatório mais simples é um caminho construído de acordo as seguintes regras:

• Há um ponto de partida.
• A distância de um ponto no caminho até o próximo é constante.
• A direção de um ponto no caminho para o próximo é escolhido aleatoriamente, e nenhuma direção é mais provável do que outra.

Passeio aleatório em malha[editar | editar código-fonte]

Um modelo de passeio aleatório popular é o passeio aleatório em uma estrutura regular, onde a cada passo a localização salta para outro local de acordo com alguma distribuição de probabilidade. Em um passeio aleatório simples, a localização só pode saltar para locais vizinhos da rede, formando um caminho de rede. No passeio aleatório simétrico simples em uma rede localmente finita, as probabilidades do salto de localização para cada um de seus vizinhos imediatos são as mesmas. O melhor exemplo estudado é de passeio aleatório sobre o inteiro rede d-dimensional (às vezes chamado de treliça hipercúbica) ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$.^[4]

Passeio aleatório unidimensional[editar | editar código-fonte]

Um exemplo elementar de um passeio aleatório é o passeio aleatório na linha de número inteiro,  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, que começa em 0 e em cada etapa move +1 ou -1 com igual probabilidade.

Este percurso pode ser ilustrado como se segue. Um marcador é colocado no zero na linha de número e uma moeda honesta é lançada. Se der cara, o marcador é movido uma unidade para a direita. Se der coroa, o marcador é movido uma unidade para a esquerda. Após cinco jogos, o marcador pode agora estar em 1, -1, 3, -3, 5, ou -5. Com cinco lançamentos, três caras e duas coroas, em qualquer ordem, vai terminar em 1. Há 10 maneiras de resultar em 1 (lançando três caras e duas coroas), 10 maneiras de resultar em -1 (lançando três coroas e duas caras), 5 formas de resultar em 3 (lançando quatro caras e uma coroa), 5 formas de resultar em -3 (lançando quatro coroas e uma cara), uma forma de resultar em 5 (lançando cinco caras), e uma forma de resultar em -5 (lançando cinco coroas). Veja abaixo uma ilustração dos resultados possíveis de 5 lançamentos.

Todos os possíveis resultados de passeio aleatório após cinco lances de uma moeda justa

Passeio aleatório em duas dimensões (versão animada)

Passeio aleatório em duas dimensões, com 25 mil passos (versão animada)

Passeio aleatório em duas dimensões, com dois milhões de passos menores. Esta imagem foi gerada de tal forma que os pontos que são mais frequentemente atravessados são mais escuros. No limite, para passos muito pequenos, obtém-se o movimento Browniano.

Para definir esta caminhada formalmente, toma-se variáveis aleatórias independentes ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dots }$, onde cada variável é +1 ou −1, com uma probabilidade de 50% para qualquer valor, e definir ${\displaystyle S_{0}=0\,\!}$ e ${\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}}$. A série ${\displaystyle \{S_{n}\}\,\!}$ é chamada passeio aleatório simples em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Esta série (a soma da seqüência de  −1 e +1) dá a distância percorrida, se cada parte do passeio é de comprimento 1. A expectativa ${\displaystyle E(S_{n})\,\!}$ de ${\displaystyle S_{n}\,\!}$ é zero. Isto é, a média de todos os lançamentos se aproxima de zero conforme o número de lançamentos aumenta. Isto segue pela propriedade da aditividade finita da expectativa:

${\displaystyle E(S_{n})=\sum _{j=1}^{n}E(Z_{j})=0}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Um cálculo semelhante, utilizando a independência de variáveis aleatórias e o fato de que ${\displaystyle E(Z_{n}^{2})=1}$, mostra que:

${\displaystyle E(S_{n}^{2})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}E(Z_{j}Z_{i})=n}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Isto sugere que ${\displaystyle E(|S_{n}|)\,\!}$, a distância esperada depois de n passos, deve ser da ordem de ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. De fato,^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {E(|S_{n}|)}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Este resultado mostra que a difusão é ineficaz para a mistura devido à forma como a raiz quadrada funciona para grandes ${\displaystyle N}$.

Quantas vezes um passeio aleatório atravessa uma linha de fronteira se for permitido continuar a caminhar para sempre? Um passeio aleatório simples em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ vai atravessar cada ponto um número infinito de vezes. Este resultado tem muitos nomes: o fenômeno da passagem de nível, recorrência ou o ruína do jogador. A razão para o último nome é o seguinte: um jogador com uma quantidade finita de dinheiro vai eventualmente perder ao jogar um jogo justo contra uma banca com uma quantidade infinita de dinheiro. O dinheiro do jogador irá realizar um passeio aleatório, e ele vai chegar a zero em algum ponto, e o jogo irá acabar.

Se a e b são números inteiros positivos, então o número esperado de passos até que um passeio aleatório unidimensional simples começando em 0 primeiro atingir b ou −a é ab. A probabilidade de que este passeio vai atingir b antes de −a é ${\displaystyle a/(a+b)}$ que pode ser derivado do fato de que o passeio aleatório simples é um martingale.

Alguns dos resultados mencionados acima podem ser derivados a partir de propriedades do triângulo de Pascal. O número de diferentes passeios de n passos, onde cada passo é +1 ou −1 é 2ⁿ. Para um passeio aleatório simples, cada um desses passeios são igualmente prováveis. Para que S_n ser igual a um número k , é necessário e suficiente que o número de passos +1 no passeio exceda o de −1 por k. O número de passeios que satisfazem ${\displaystyle S_{n}=k}$ é igual ao número de maneiras de escolher (n - k)/2, com n sendo o número de movimentos permitidos,^[6] denotado ${\displaystyle n \choose (n-k)/2}$. Para que isto tenha sentido, é necessário que n e k sejam números pares. Portanto, a probabilidade de que ${\displaystyle S_{n}=k}$ é igual a ${\displaystyle 2^{-n}{n \choose (n-k)/2}}$. Representando as entradas do triângulo de Pascal, em termos de fatoriais e usando a fórmula de Stirling, pode-se obter boas estimativas para estas probabilidades para valores grandes de ${\displaystyle n}$.

Se o espaço é limitado para ${\displaystyle \mathbb {Z} }$+ para ser breve, o número de maneiras em que um passeio aleatório vai pousar em qualquer determinado número tendo ocorrido cinco lançamentos, pode ser mostrado como {0,5,0,4,0,1}.

Esta relação com o triângulo de Pascal é demonstrada para valores pequenos de n. Com zero lançamentos, a única possibilidade será a de permanecer em zero. No entanto, com um lançamento, há uma chance de resultar em −1, ou uma chance de resultar em 1. Com dois lançamentos, um marcador em 1 pode mover para 2 ou voltar para zero. Um marcador em −1, poderia mover para −2 ou de volta a zero. Portanto, há uma chance de resultar em −2, duas chances de terminar em zero, e uma chance de pouso em 2.

k	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
${\displaystyle P[S_{0}=k]}$						1
${\displaystyle 2P[S_{1}=k]}$					1		1
${\displaystyle 2^{2}P[S_{2}=k]}$				1		2		1
${\displaystyle 2^{3}P[S_{3}=k]}$			1		3		3		1
${\displaystyle 2^{4}P[S_{4}=k]}$		1		4		6		4		1
${\displaystyle 2^{5}P[S_{5}=k]}$	1		5		10		10		5		1

O teorema do limite central e a lei do logaritmo iterado descreve aspectos importantes do comportamento de passeios aleatórios simples em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Em particular, o primeiro implica que conforme n aumenta, as probabilidades (proporcional aos números em cada linha) se aproximam de uma distribuição normal.

Como uma generalização direta, pode-se considerar passeios aleatórios em reticulados (infinitas vezes cobrindo gráficos ao longo do finito gráficos). Na verdade, é possível estabelecer o teorema do limite central nesta definição.^[7][8]

Cadeia de Markov[editar | editar código-fonte]

Um passeio aleatório unidimensional também pode ser visto como uma cadeia de Markov cujo espaço de estado é dado por números inteiros ${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$. Para algum número p satisfazendo ${\displaystyle \,0<p<1}$, as probabilidades de transição (a probabilidade P_i,j de ocorrer um movimento a partir do estado i para o estado j) são dadas por ${\displaystyle \,P_{i,i+1}=p=1-P_{i,i-1}}$.

Dimensões superiores[editar | editar código-fonte]

Três passeios aleatórios em três dimensões

Em dimensões superiores, o conjunto de pontos caminhados aleatoriamente tem interessantes propriedades geométricas. Na verdade, obtém-se um fractal discreto, isto é, um conjunto que apresenta autossimilaridade estocástica em grandes escalas. Em escalas pequenas, pode-se observar a "irregularidade" resultante da grade em que o caminho é realizado. A trajetória de um passeio aleatório é o conjunto dos pontos visitados, considerado como um todo e ignorando quando o passeio chegou a cada ponto. Em uma dimensão, a trajetória é simplesmente todos os pontos entre a altura mínima e máxima que o caminho alcançou (ambos são, em média, na ordem de √n).

Para visualizar os casos de duas dimensões, pode-se imaginar uma pessoa andando aleatoriamente em torno de uma cidade. A cidade é efetivamente infinita e com calçadas dispostas em uma grade quadrada. Em cada cruzamento, a pessoa escolhe aleatoriamente uma das quatro rotas possíveis (incluindo a rota pela qual veio até aquele ponto). Formalmente, este é um passeio aleatório no conjunto de todos os pontos do plano com coordenadas nos inteiros.

Será que a pessoa voltará em algum momento ao ponto de partida original do passeio? Este é o equivalente bidimensional da passagem de nível, discutida acima. A pessoa quase certamente irá voltar ao ponto de partida em um passeio aleatório bidimensional, mas para 3 dimensões ou mais, a probabilidade de retorno à origem diminui à medida que o número de dimensões aumenta. Em 3 dimensões, a probabilidade diminui para cerca de 34%.^[9]

Processo de Wiener[editar | editar código-fonte]

Passos simulados aproximando um processo de Weiner de duas dimensões

Um processo de Wiener é um processo estocástico com comportamento semelhante ao movimento Browniano, o fenômeno físico de partículas minúsculas difundindo em um fluido (às vezes, o processo de Wiener é chamado de "movimento Browniano", embora esse seja, estritamente falando, uma confusão de um modelo com o fenômeno a ser modelado).

Um processo de Wiener é a escala limite de passeio aleatório em uma dimensão. Isso significa que, se você tomar um passeio aleatório com passos muito pequenos, você obtém uma aproximação para um processo de Wiener (e, menos precisamente, para um movimento Browniano). Para ser mais preciso, se o tamanho do passo é ε, é preciso ter uma caminhada de comprimento L/ε² para se aproximar de um Wiener de comprimento L. Conforme o tamanho do passo tende a 0 (e o número de passos aumenta proporcionalmente), os passeios aleatórios convergem para um processo de Wiener. Formalmente, se B é o espaço de todos os caminhos de comprimento L , com a topologia máxima, e se M é o espaço de medida através de B com a topologia normal, então a convergência se dá no espaço M. Da mesma forma, um processo de Wiener em várias dimensões é a escala limite de passeios aleatórios no mesmo número de dimensões.

Um passeio aleatório é um fractal discreto (uma função com número inteiro dimensões; 1, 2, ...), mas a trajetória de um processo de Wiener é um verdadeiro fractal, e há uma conexão entre os dois. Por exemplo, tome um passeio aleatório até que ele atinja um círculo de raio r vezes o comprimento do passo. A média do número de passos que ele executa é r². Essa é a versão discreta do caminho de um processo de Wiener ser um fractal de dimensão Hausdorff 2.

Em duas dimensões, o número médio de pontos que o mesmo passeio aleatório tem no limite de sua trajetória é de r^4/3. Isto corresponde ao fato de que o limite da trajetória de um processo de Wiener é um fractal de dimensão 4/3, um fato previsto por Mandelbrot usando simulações, mas provado apenas em 2000 por Lawler, Schramm e Werner.^[10]

Um processo de Wiener possui muitas simetrias que passeio aleatório não tem. Por exemplo, um passeio em processo de Wiener é invariante à rotação, mas o passeio aleatório não, pois a grade subjacente não é invariante (passeios aleatórios são invariantes para as rotações de 90 graus, mas processos de Wiener são invariantes para rotações, por exemplo, de 17 graus). Isso significa que, em muitos casos, problemas de passeio aleatório são mais fáceis de resolver "traduzindo-os" para um processo de Wiener, resolvendo o problema e, em seguida, transformando de volta. Por outro lado, alguns problemas são mais fáceis de resolver com passeios aleatórios, devido à sua natureza discreta.

Passeios aleatórios e processos de Wiener podem ser acoplados, se manifestando sobre o mesmo espaço de probabilidade de forma dependente que os obriga a estar muito próximos. O mais simples de tais acoplamento é o acoplamento de Skorokhod, mas existem acoplamentos mais precisos, tais como o teorema de aproximação de Komlós–Grande–Tusnády.

A convergência de um passeio aleatório em direção a um processo de Wiener é controlada pelo teorema central do limite, e pelo teorema de Donsker. Para uma partícula em uma conhecida posição fixa em t = 0, o teorema central do limite diz que depois de um grande número de passos independentes no passeio aleatório, a posição do caminhante é distribuída de acordo com uma distribuição normal do total de variância:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {t}{\delta t}}\,\varepsilon ^{2},}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

onde t é o tempo decorrido desde o início do passeio aleatório, ${\displaystyle \varepsilon }$ é o tamanho de um passo do passeio aleatório, e ${\displaystyle \delta t}$ é o tempo decorrido entre dois passos sucessivos.

Isso corresponde à função de Green da equação de difusão que controla o processo de Wiener, o que sugere que, depois de um grande número de passos, o passeio aleatório converge em direção a um processo de Wiener.

Em 3D, a variância correspondente à função de Green de difusão da equação é:

${\displaystyle \sigma ^{2}=6\,D\,t}$

Ao equalizar essa quantidade com a variância associada à posição do caminhante aleatório, obtém-se o coeficiente de difusão equivalente a ser considerado para o processo de Wiener para qual o passeio aleatório converge depois de um grande número de passos:

${\displaystyle D={\frac {\varepsilon ^{2}}{6\delta t}}}$ (válido apenas em 3D)

Observação: as duas expressões da variância acima correspondem à distribuição associada ao vetor ${\displaystyle {\vec {R}}}$ que liga as duas extremidades do passeio aleatório, em 3D. A variância associada a cada componente ${\displaystyle R_{x}}$, ${\displaystyle R_{y}}$ ou ${\displaystyle R_{z}}$ é apenas um terço deste valor (em 3D).

Para 2D:^[11]

${\displaystyle D={\frac {\varepsilon ^{2}}{4\delta t}}}$

E para 1D:^[12]

${\displaystyle D={\frac {\varepsilon ^{2}}{2\delta t}}}$

Passeio aleatório gaussiano[editar | editar código-fonte]

Um passeio aleatório com um passo de tamanho que varia de acordo com uma distribuição normal é usado como um modelo para séries de dados temporais do mundo real, tais como os mercados financeiros. A fórmula de Black–Scholes para a modelagem de opção de preços, por exemplo, usa um passeio aleatório gaussiano como a suposição subjacente.

Aqui, o tamanho do passo é o inverso da distribuição cumulativa normal ${\displaystyle \Phi ^{-1}(z,\mu ,\sigma )}$ onde 0 ≤ z ≤ 1 é uma distribuição uniforme de números aleatórios, e μ e σ são a média e o desvio-padrão da distribuição normal, respectivamente.

Se μ é diferente de zero, o passeio aleatório irá variar sobre uma tendência linear. Se v_s é o valor inicial do passeio aleatório, o valor esperado depois de n passos será v_s + nμ.

Para o caso especial onde μ é igual a zero, depois de n passos, a distância de translação da distribuição de probabilidade é dada por N(0, nσ²), onde N(a) é a notação para a distribuição normal, n é o número de passos, e σ é dado a partir da distribuição normal cumulativa inversa conforme indicado acima.

Prova: O passeio aleatório gaussiano pode ser considerado como a soma de uma série de independentes e identicamente distribuídas variáveis aleatórias X_i, do inverso da distribuição cumulativa normal com média igual a zero e σ da distribuição normal cumulativa inversa original:

Z = ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{X_{i}}}$,

mas tem-se a distribuição para a soma de duas variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas, Z = X + Y, é dada por

N(μ_X + μ_Y, σ²_X + σ²_Y)

No caso, µ_X = µ_Y = 0 e σ²_X = σ²_Y = σ² resultando em

N(0, 2σ²)

Por indução, para n passos tem-se

Z ~ N(0, nσ²).

Para as etapas distribuídas de acordo com qualquer distribuição, com zero de média e uma variância finita (não necessariamente apenas uma distribuição normal), o valor eficaz da distância da tradução depois de n passos é

${\displaystyle {\sqrt {E|S_{n}^{2}|}}=\sigma {\sqrt {n}}}$

Mas para o passeio aleatório gaussiano, este é apenas o desvio padrão da distância da tradução da distribuição depois de n passos. Portanto, se μ é igual a zero, e por que o valor eficaz (rms) da distância da tradução é um desvio-padrão, há 68.27% de probabilidade de que o rms da distância da tradução depois de n passos vai cair entre ± σ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Da mesma forma, há 50% de probabilidade de que a distância da tradução depois de n passos vai cair entre ± σ 0.6745${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.